Карьера дирижёра Александра Вилюманиса неразрывно связана с Латвийской национальной оперой. Родился музыкант в Прейли, окончил Латвийскую музыкальную академию по классам ударных инструментов и дирижирования. В 1962 году начал работу в Латвийской национальной опере как перкуссионист и ассистент дирижёра, пройдя путь от стажёра до главного дирижёра и художественного руководителя театра.
Неожиданный дебют молодого дирижёра состоялся в 1968 году, когда он без репетиции провёл спектакль «Трубадур» Верди. Этот успех открыл путь к постоянной дирижёрской работе. С 1972 по 1975 год Вилюманис стажировался в Ленинградском театре оперы и балета имени Кирова, где дирижировал «Евгением Онегиным», «Травиатой» и другими спектаклями.
В 1975 году он возглавил Латвийскую национальную оперу, где поставил «Макбета» Верди — первую в СССР постановку этой оперы. Особый резонанс получила его работа над балетом «Гаянэ» в сотрудничестве с композитором Арамом Хачатуряном и хореографом Борисом Эйфманом. Спектакль был записан для телевидения и показан во многих странах мира.
Вилюманис много работал с Мариинским театром, где в 1990–1994 годах был дирижёром, и Большим театром, куда регулярно приезжает как приглашённый дирижёр. Его обширный репертуар включает оперы Верди, Чайковского, Пуччини и балеты Прокофьева, Делиба, Стравинского. Дирижёр гастролировал по Европе, а в 1991 году совершил турне по Италии со Мстиславом Ростроповичем.