Дмитрий Яблонский родился в Москве в музыкальной семье: его мать — пианистка Оксана Яблонская, отец — гобоист Альберт Зайонц. Мать стала первым учителем музыки, а отец привил любовь к оркестровому звучанию.
Как виолончелист Дмитрий Яблонский окончил Центральную музыкальную школу и Джульярдскую. В 1983 году дебютировал с Нью-Йоркским филармоническим оркестром. Особую известность получили его записи виолончельных сочинений Рахманинова и Шостаковича.
Дирижёрскую деятельность начал в 1994 году. В 2002–2012 годах был главным дирижёром Российской государственной симфонической капеллы. Под его руководством записаны все симфонии Мясковского с Лондонским симфоническим оркестром.
С 2015 года преподаёт в Тель-Авивской академии музыки. Регулярно проводит мастер-классы в России, Европе и США. В 2021 году восстановил авторскую редакцию Первого виолончельного концерта Шостаковича.