После окончания Киевской консерватории в 1963 году Константин Кримец продолжил обучение в аспирантуре Московской консерватории и на курсах высшего дирижёрского мастерства под руководством французского маэстро Игоря Маркевича. В конце 1960 — начале 70-х музыкант работал в эстрадном оркестре Всесоюзного радио и Центрального телевидения под управлением Вадима Людвиковского. В коллективе поощрялось творческое развитие оркестрантов, позволяя им заниматься аранжировками, сочинением музыки и дирижированием. Константин Дмитриевич, как и его некоторые его коллеги часто выступал в роли дирижёра. Он гастролировал по СССР, участвовал в записи множества песен и инструментальных произведений того времени.
С 1977 по 1989 годы Кримец занимал пост дирижёра Государственного симфонического оркестра кинематографии СССР. За это время он записал музыку к нескольким знаковым фильмам и мультфильмам. В дискографии Константина Дмитриевича ленты «Обыкновенное чудо», «Про Красную шапочку», мультфильмы «Ёжик в тумане», «Бременские музыканты», «По следам бременских музыкантов», «Маугли».