Максим Рубцов родился в Брянске, где начал учиться музыке. С семи лет занимался танцами и выступал в постановках ансамбля Игоря Моисеева. Игре на флейте обучался в Детской школе искусств имени Николаевой в Брянске. Для продолжения образования переехал в Москву, окончив Музыкальный колледж имени Гнесиных (класс Николая Кондрашова), Московскую консерваторию и аспирантуру под руководством профессора Юрия Должикова.
С 1999 года играет в Российском национальном оркестре, с 2003 года — концертмейстер группы флейт и солист. В 2002 году по приглашению дирижёра Майкла Тилсона Томаса выступал с Симфоническим оркестром Сан-Франциско на Фестивале русского искусства.
В 2000 году Максим Рубцов стал одним из основателей Духового квинтета Российского национального оркестра. Квинтет записал компакт-диск, гастролировал в Европе, Азии и США, а в 2005 году получил Гран-при Международного конкурса камерной музыки в Осаке.
В 2011 году американская компания Blue Griffin Recording выпустила сольный диск Рубцова «Русский романс». На нём представлены произведения русских и советских композиторов в исполнении Максима Рубцова и пианиста Сергея Квитко, который также выступил продюсером записи.